tema 1
notación sigma :)
notación sigma :)
La sumatorio o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumando.
La operación sumatorio se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:
Expresión que se lee: " sumatorio de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n ".
i es el valor inicial, llamado límite inferior.
n es el valor final, llamado límite superior.
Pero necesaria mente debe cumplirse que:
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:
Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5 ……+ n); que acabamos de ver arriba.
Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + ……….+ n 2 )
Fórmula para la sumatoria de los cubos de n números consecutivos (1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 3 ……..+ n 3 ):
ejemplos:
sumatoria desarrollada
expresión en forma de sumatoria
sumatoria desarrollada
para calcular las sumatorias:
para calcular las sumatorias:
aplicando la propiedad telescópica:
tema 2
Área bajo el gráfico de una función
La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas.
El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función.
El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al valor de la función en el medio del intervalo correspondiente.
Área = fi x
Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.
El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la función.
Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreas individuales de todos los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida.
El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la realización de las integrales definidas entre los puntos dados.
El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas:
Área = f(x) dx
La expresión puede ser más simplificada como:
f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)
El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x.
En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y parcialmente por debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de estos dos casos es generado, el cual es la diferencia entre el área cuando la curva está por debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El área encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o por encima del eje de coordenadas x.
El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos mediante acercarse al infinito y considerar el ancho del rectángulo como el límite.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto:
Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado.
Podemos proceder de la forma siguiente:
Área = (7 – x2) dx
= | (7x – 1/3 x3)|−12
= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]
= 18
ejemplo::
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
En segundo lugar se calcula la integral:
ejercicios de integral indefinida:
SUSTITUCIÓN CON U ↡🗾
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable T, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
ejemplo:
paso 1: Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
paso 2: Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
paso 3: Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
paso 4: Se vuelve a la variable inicial:
ejercicios de prueba:
INTEGRACIÓN POR PARTES
Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:
Regla mnemotecnia: Un Día Vi Una Vaca SIN COLA Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU)
- Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
- Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
EJEMPLO:
Integramos por partes:
EJERCICIOS EN PRACTICA:
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:
tabla de integración por sustitución trigonométrica
aplicación de la integral.
área entre gráficas.
Si f es una función que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b], entonces la integral definida :
puede interpretarse como el área neta con signo entre la gráfica de f y el eje x sobre el intervalo [a,b].
Suponga que la función y = f(x) es continua sobre el intervalo [a,b] y que f (x) <0 sobre [a,c) y que f (x) >/ 0 sobre [c,b].
El área total es el área de la región acotada por las gráficas de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b.
Para encontrar el área se emplea el valor absoluto de la función y= | f(x) |, que no es negativa para toda en x en [a,b].
Ejemplo:
sólidos de revolución.
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana
alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un
triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
La fórmula para calcular el volumen del sólido de revolución al rotar una función definida en el intervalo [a,b], alrededor del eje de las x es :
Ejercicios:
2
, el eje x y la recta x = 5
MEMES:)(: 😂😂
